Você sabe como são calculados os modelos em escala?

Muitas pessoas conhecem os modelos em escala com relação aos carros em miniaturas colocadas em túneis de vento para simular a força de arrasto ou força resistente do ar causado pelo conjunto aerodinâmico do veículo; ou ainda, quem nunca assistiu ao Mythbusters simulando modelos em escala de pontes ou outros tipos de estruturas?

Pois bem, modelos em escala são simples quando pensamos em termos de dimensões lineares, espaciais ou volumétricas, mas quando entram variáveis correlacionadas com velocidade, densidade, viscosidade e forças por exemplo, o processo já não é tão intuitivo assim.

Para entendermos um pouco sobre modelo em escala, primeiramente devemos entender o conceito de análise dimensional, então vejamos:

Análise Dimensional

Segundo Murph (1950), a análise dimensional é uma poderosa ferramenta analítica desenvolvida a partir de considerações das dimensões na qual cada fenômeno é expressa por uma unidade pertinente.

MACIEL (1993) esclarece que a análise dimensional é um método de dedução lógica dos grupos de variáveis envolvidas em um processo e se fundamentam em dois axiomas principais: pode-se somente estabelecer um estado de igualdade entre duas grandezas que tenham as mesmas dimensões (princípio da homogeneidade); a razão entre duas grandezas é independente da unidade em que são medidas, desde que empregue a mesma unidade para ambas.

A análise dimensional, desenvolvido a partir destes dois axiomas, difere de outros tipos de análise em que se baseia unicamente nas relações que devem existir entre as variáveis ​​pertinentes por causa de suas dimensões, em vez de ser baseada na lei do movimento de Newton ou outras chamadas leis naturais (Murphy, 1050). Portanto, sistemas diferentes são dinamicamente semelhantes quando são geometricamente semelhantes, possuem as mesmas condições de contorno e iniciais e possuem os mesmos números adimensionais com valores idênticos.

Análises Dimensionais trata-se dos aspectos de grandeza de medidas. Aspectos qualitativos das medidas são expressos em termos de grandezas tanto primárias quanto secundárias. As grandezas primárias são normalmente mais aceitas como referência em relação a outros termos específicos. Por exemplo, kg, m, s, e K são respectivamente as grandezas principais de massa, comprimento, tempo e temperatura em unidades do Sistema Internacional. As grandezas derivadas ou secundárias são expressas em termos de grandezas primárias baseadas nas relações matemáticas (Murphy, 1950). Assim, a velocidade, que é a distância/tempo, tem a unidade m.s^-1.

Murphy (1950) explica que grandezas fundamentais não são necessariamente o mesmo que grandezas primárias. Muitas vezes, a força é escolhida como uma grandeza fundamental em engenharia, embora não seja uma grandeza primária. As dimensões dessas grandezas de base são utilizadas na obtenção de dimensões de outras grandezas. Assim, se a força (F), o comprimento (L), o tempo (T), e temperatura (θ) são utilizados como grandezas fundamentais, então, a massa terá as seguintes dimensões:

Força = Massa * aceleração

Força = Massa * (dx/dt²)

Massa = Força * (dt²/dx)

Ou, em termos de dimensão:

M = F*(T²/L)

Foram utilizados comprimento, força, tempo e temperatura como grandezas fundamentais neste caso. O poder da análise dimensional reside em sua capacidade para classificar equações, converter equações de um sistema de unidades para outro, desenvolver equações de predição, reduzir o número de variáveis ​​a ser investigado em um experimento, e proporciona a base para a teoria da similitude (Murphy, 1950). Dinâmica dos solos foi amplamente beneficiada com características poderosas da análise dimensional. Esta técnica tem sido amplamente usada durante os anos 1960 e 1970 para desenvolver equações de predição, reduzir o número de variáveis ​​a serem investigadas, e conduzir os estudos do modelo, Upadhyaya (2009).

Glancey et al (1996) citado por Upadhyaya (2009) desenvolveu uma técnica para medir o esforço de tração de um implemento agrícola utilizando uma ferramenta de mobilização padrão como um dispositivo referência. Foi hipotetizado de que uma ferramenta apenas de mobilização padrão era capaz de caracterizar as propriedades dinâmicas do solo relacionadas ao preparo. Constatou-se que a metodologia eliminou a necessidade de testar cada equipamento em cada local para determinar os esforços de tração. Caso contrário os implementos a serem estudados seriam testados em um local de ensaio (seja em campo de prova ou no laboratório) em vários tipos de solo em diferentes condições. Portanto, apenas uma condições de solo local foi suficiente para ser considerado como referência e ainda, para a determinação do esforço de tração do implemento em qualquer localização, somente a ferramenta de cultivo padrão seria o suficiente para ser testado no local.

A análise dimensional consistem em um recurso matemático em que problema de determinado número de variáveis possa ser reduzido a um problema com menor número de termos chamados de Pi (π). Esta redução no número de variáveis ​​é uma grande vantagem fornecida pela análise dimensional. Esta redução no número de variáveis ​​pode ser facilmente determinada pelo teorema Pi de Buckingham. O teorema Pi de Buckingham diz que o número de Pi termos  necessários para expressar uma relação entre as variáveis ​​é igual ao número de variáveis ​​envolvidas no processo (n) menos o número de dimensões (b) necessária para expressar as variáveis (Murphy, 1950).

Este teorema é especialmente útil na concepção de experiências, uma vez que permite reduzir o número de variáveis ​​a serem investigados, reduzindo assim o tempo necessário, a complexidade e custo da realização das experiências, Upadhayaya (2009).

Wismer et al. (1977) citado por Upadhayaya (2009) forneceu uma excelente revisão do estado da arte em aplicação de metodologia similitude de problemas de interação solo-máquina. Na qual foi abordado problemas como: (1) interação solo-pneu, (2) o corte do solo, (3) propriedades dinâmicas do solo, (4) interação ferramenta de manejo do solo, e (5) corte do solo por lâminas.

Modelagem Dimensional

Segundo o Szirtes (2007), a finalidade do modelo tridimensional é ser capaz de experimentar em um modelo prévio de uma réplica em escala reduzida da construção original, chamado protótipo, e estudar os resultados obtidos com o modelo. Um protótipo é um dispositivo que apresentam sistemas físicos observáveis no modelo para predizer com precisão o desempenho de um sistema físico no projeto desejado.
A utilização de modelos facilita a concepção e testes na engenharia ou física para experimentação em projetos que sejam devidamente concebidos, construídos e utilizados de forma significativa para reduz a probabilidade de cometer erros no projeto.
Existem, porém, casos em que o teste do produto em escala não é apenas impraticável, mas é impossível; por exemplo, a previsão da taxa de erosão de uma margem do rio não seria possível sem o modelo de experimentação reduzido e estudos das características dos rios pertinentes.
Em geral, a modelagem é reproduzido quando se deseja obter:

• Dados experimentais válidos para o protótipo como a deflexão de uma viga carregada em uma forma.
• Comportamento de um sistema físico (por exemplo, a vibração de uma gota de líquido restringida pela tensão superficial)
• Relação funcional entre as variáveis, se a forma analítica é demasiado complexa, imprecisa ou desconhecida (por exemplo, os problemas de transferência de calor)

Portanto, em geral, é aconselhável a modelagem quando:

• O protótipo é muito pequeno ou muito grande;
• O protótipo não é acessível;
• As magnitudes das variáveis ​​sobre o protótipo é muito pequeno ou muito grande para ser medida;
• Teste em produto levaria tempo muito longo ou um tempo muito curto.

É um equívoco pensar que o modelo deve ser fisicamente menor que o protótipo. Embora os modelos de pequena escala são os mais comuns, eles não são de escolha universal; de fato, muitas vezes é possível, nem mesmo desejável construir um modelo menor que o protótipo. Por exemplo, para determinar a dinâmica e características de flexão de mecanismos em miniatura, obviamente, um modelo em larga escala é mais apropriado.
Outra falsa crença é que um modelo deve ser geometricamente semelhante ao protótipo. Mais uma vez, embora a semelhança geométrica é muitas vezes desejável, não é sempre possível alcançar, e ainda que um modelo possa ser facilmente construído e experimentado. Com efeito, por vezes, a maior vantagem de um modelo é poder ser geometricamente diferente do protótipo. Embora os modelos são usados ​​em uma variedade extremamente ampla de projeto de engenharia e teste. Apenas algumas das aplicações mais benéficos estão relacionados com:

• Reatores nucleares e outros produtos que exigem alta contenção;
• Estruturas submarinas (por exemplo, barragens, plataformas);
• Estruturas que, em geral, possuem configurações grandes ou complexos (por exemplo, pontes);
• Eventos associados, em geral, com a aerodinâmica, hidrodinâmica, e efeitos, como explosões, vento, ondas, etc;
• Problemas envolvendo a propagação de calor, em particular condução e convecção (natural e forçada).

Modelagem também encontrou algumas aplicações muito engenhosas em áreas tão diversas como biomecânica, eletromagnetismo, fisiologia, matemática e geometria. Por outro lado, alguns temas são geralmente inadequadas para a experimentação de modelos. Entre elas podemos citar:

• Propagação de trincas em estruturas;
• Efeitos de fluência;
• Efeitos de retração;
• Efeitos adesivos.

Vamos ao exemplo:

Um implemento agrícola muito comum o rolo faca.

O rolo faca é uma importante ferramenta para o manejo de uma agricultura conservacionista, ela consiste em uma máquina de arrasto que realiza o esmagamento e picagem do material de cobertura de solo com a rolagem de um cilindro lastrado contendo lâminas cortantes em ser entorno.

A utilização deste se tornou muito comum também para sistema de cultivo de arroz irrigado por inundação (arroz alagado), muito utilizado para incorporação de resíduos de cultura na lavoura bem com para acamar o arroz após a colheita para evitar o rebrotamento.

Cálculos:

Determine a força “F” e velocidade “V” necessária para tracionar o rolo faca em escala real (protótipo) com massa (P) projetada para 500 kg  de  através dos dados obtidas na condição do modelo em escala reduzida:

• P = 90 kg (massa);
• V = 2,5 m/s (velocidade de trabalho);
• F = 1250 N (força de tração exigido);
• g = 9,8 m/s² (aceleração da gravidade);
• ρ = 1655 kg/m³ (densidade do solo alagado).

Adimensionais no sistema M L T (massa, comprimento, tempo).

O determinante dos coeficientes dos termos remanescentes deve ser diferente de zero, ou seja, deve haver uma independência linear entre eles.Então os “π termos” são determinados a partir de uma simples álgebra:

O conceito chave para o modelo em escala é a igualdade dos π termos entre o modelo em escala reduzida e o modelo em real:

O protótipo deverá ser tracionada a um força de 6944 N com uma velocidade de 5,89 m/s.

E segundo o conceito da relação entre massa e dimensão linear “L”, desde que o modelo tenha similaridade escalar do protótipo, obedecem um relação cúbica, ou seja:

Portanto o modelo reduzido corresponde em dimensão linear em 56% do protótipo.

Este foi um exemplo simples da utilização do modelo em escala em um implemento agrícola!!!

Créditos aos Professores Doutores:

• UPADHYAYA, S. K. Dimensional Analysis and Similitude Applied to Soil-Machine System. In Advances in Soil Dynamics Volume 3. St. Joseph, Mich.: ASABE. Copyright 2009 American Society of Agricultural and Biological Engineers.
• MURPHY, G. Similitude in engineering. 1^o Ed. New York: Ronald Press, 1980.
• SZIRTES, Thomas. Applied dimensional analysis and modeling, 2007.